计算范围，IQR，方差，标准偏差

发布于2020年9月7日Pritha班达里．2022年11月11日修订。

可变性描述数据点彼此之间以及与分布中心之间的距离。同时还有集中趋势，可变性的测量给你描述性统计总结你的数据。

变异性也被称为扩散、分散或分散。最常用的测量方法是:

范围：最高值和最低值之间的差值
四分位范围：分布的中间一半的范围
标准偏差：离平均值的平均距离
方差：距离均值的平方的平均值

为什么可变性很重要?

而集中趋势，或平均，告诉你你的大部分点在哪里，可变性总结了它们之间的差距。这一点很重要，因为可变性的大小决定了你能做到多好概括从样本到总体的结果。

低可变性是理想的，因为这意味着您可以更好地预测信息人口基于样本数据。高可变性意味着数值不太一致，因此更难进行预测。

数据集可以具有相同的集中趋势，但不同水平的可变性或反之亦然．如果你只知道集中趋势或变异性，你就不能说其他方面。它们一起为您提供数据的完整图像。

这张图显示了3个样本的分布，它们的平均值相同，但变异性不同。 — 例:正态分布的变异性

范围

的范围告诉您数据在分布中从最低值到最高值的分布。这是衡量可变性最容易计算的方法。

来找到范围，只需用数据集中的最高值减去最低值。

范围的例子

样本A有8个数据点。

数据(分钟)	72	110	134	190	238	287	305	324

最高值(H)是324最低的(l)是72．

R＝H- - - - - -l

R= 324 - 72 =252

数据的范围是252分钟．

由于只使用了2个数字，因此范围受到离群值没有给出任何关于值分布的信息。它最好与其他措施结合使用。

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四分位范围

的四分位范围给出了分布的中间分布。

对于任何从低到高排序的分布，四分位数范围包含一半的值。而第一个四分位数(Q1)包含前25%的值，第四个四分位数(Q4)包含后25%的值。

四分位数范围是第三四分位数(Q3)减去第一四分位数(Q1)。这给了我们一个数据集中间一半的范围。

四分位范围示例

要找到四分位范围在你的8个数据点中，你首先找到Q1和Q3的值。

将数据集(8)中的值的数量乘以0.25(第25百分位(Q1))，乘以0.75(第75百分位(Q3)。

Q1位置:0.25 x 8 = 2

Q3位置:0.75 x 8 = 6

Q1是第二个位置的值，也就是110．Q3是第6位的值，也就是287．

Iqr = q3 - q1

Iqr = 287 - 110 =177

数据的四分位范围为177分钟．

与范围一样，四分位范围在计算中只使用2个值。但是IQR受到的影响较小离群值:这2个值来自数据集的中间部分，因此它们不太可能是极端分数。

IQR给出了一个一致的测量变量倾斜还有正态分布。

Five-number总结

每个发行版都可以使用five-number总结：

最小值
Q1:第25百分位
Q2:中位数
Q3: 75%
最高值(第四季)

这些五位数的摘要可以很容易地使用盒状和须状图进行可视化。

标准偏差

的标准偏差是数据集中可变性的平均值。

它告诉你，平均而言，每个分数离平均值有多远。标准差越大，数据集的变量就越大。

手工求标准差有六个步骤:

列出每个分数求均值．
减去每个分数的平均值，得到与平均值的偏差。
对每个偏差进行平方。
把所有的方差平方加起来。
将方差的平方和除以n- 1 (for a样本)或N(对于人口)。
求出你得到的数字的平方根。

标准偏差示例

步骤1:数据(分钟)	第二步:偏离均值	步骤3 + 4:平方偏差
72	72 - 207.5 = -135.5	18360.25
110	110 - 207.5 = -97.5	9506.25
134	134 - 207.5 = -73.5	5402.25
190	190 - 207.5 = -17.5	306.25
238	238 - 207.5 = 30.5	930.25
287	287 - 207.5 = 79.5	6320.25
305	305 - 207.5 = 97.5	9506.25
324	324 - 207.5 = 116.5	13572.25
意思是=207.5	Sum = 0	平方和=63904

标准偏差示例

因为你处理的是一个样本，你用n- 1。

n- 1 =7

63904 / 7 =9129.14

标准偏差示例

年代=√9129.14 = 95.54

你的数据的标准差是95.54．这意味着，平均而言，每个分数偏离平均值95.54分。

总体标准差公式

如果你有来自整个总体的数据，使用总体标准差公式:

公式	解释
$\sigma =\sqrt{\dfrac{\sum{(X - \mu)^2}}{N}}$	$\σ$ 总体标准差 $\总和$ 总和… $X$ =每个值 $\μ$ 总体平均数 $N$ =总体中值的数量

样本标准差公式

如果你有来自样本的数据，使用样本标准差公式:

公式	解释
$s =\sqrt{\dfrac{\sum{(X - \bar{X})^2}}{n - 1}}$	$年代$ 样本标准差 $\总和$ 总和… $X$ =每个值 $酒吧\ {x}$ 样本平均数 $n$ =样本中值的个数

为什么要使用n- 1为样本标准差?

样品用来制造统计推断关于他们来自的人群。

当你有总体数据时，你可以得到总体标准差的确切值。因为你收集数据从每一个总体成员，标准差反映了你的分布，总体的变异性的精确数量。

但当你使用样本数据时，你的样本标准差总是被用作总体标准差的估计。使用n在这个公式中，往往会给你一个有偏见的估计，始终低估了可变性。

减少样本n来n- 1使标准偏差人为地变大，给你一个变异性的保守估计。

虽然这不是一个无偏的估计，但它是一个偏差较小的估计:高估而不是低估样本的可变性更好。

当样本容量较大时，标准差的偏倚估计和保守估计之间的差异会小得多。

方差

的方差是均值的方差的平均值。偏离平均值是指分数离平均值的距离。

方差是标准差的平方。这意味着方差的单位要比数据集的典型值大得多。

虽然很难直观地解释方差数，但在统计测试中比较不同数据集的方差是很重要的方差分析．

方差反映了数据集中的分布程度。数据越分散，相对于平均值的方差就越大。

方差的例子

要得到方差，请对标准差进行平方。

年代= 95.5

年代²= 95.5 x 95.5 = 9129.14

数据的方差是9129.14．

要手动找到方差，请执行除最后一步之外的所有标准偏差步骤。

总体方差公式

公式	解释
$\sigma^2 = \dfrac{\sum (X - \mu)^2}{N}$	$\σ^ 2$ =总体方差 $\总和$ 总和… $Χ$ =每个值 $\μ$ 总体平均数 $Ν$ =总体中值的数量

样本方差公式

公式	解释
$s²= \dfrac{\sum (X - \bar{X})²}{n - 1}$	$s ^ 2$ =样本方差 $\总和$ 总和… $Χ$ =每个值 $酒吧\ {x}$ 样本平均数 $n$ =样本中值的个数

有偏方差估计和无偏方差估计

统计中的无偏估计是指不一致地给你高值或低值的估计——它没有系统偏差。

就像标准差一样，总体和样本方差也有不同的公式。但是，虽然标准偏差没有无偏估计，但样本方差有一个。

如果样本方差公式使用样本n，样本方差将偏向于低于预期的数字。减少样本n来n- 1使方差人为增大。

在这种情况下，偏见不仅降低了，而且完全消除了。样本方差公式给出了完全无偏的方差估计。

样本标准差为什么不是无偏估计呢?

这是因为样本标准差来自于样本方差的平方根。由于平方根不是一个线性操作，不像加法或减法，样本方差公式的无偏性不包含在样本标准差公式中。

衡量可变性的最佳方法是什么?

衡量可变性的最佳方法取决于你的测量水平和分布。

测量水平

对于在an处测量的数据序数水平上，极差和四分位间极差是变异的唯一适当度量。

对于更复杂的情况时间间隔而且比水平，标准差和方差也适用。

分布

对于正态分布，所有的度量都可以使用。标准差和方差是首选，因为它们考虑了整个数据集，但这也意味着它们很容易受到异常值的影响。

对于有异常值的倾斜分布或数据集，四分位范围是最好的测量方法。它受极值的影响最小，因为它关注的是数据集中间的分布。

关于可变性的常见问题

什么是可变性?: 可变性告诉您点彼此之间以及与分布或数据集的中心之间的距离。

变异性也被称为扩散、分散或分散。
四种主要的可变性测量方法是什么?: 可变性最常用的测量方法是什么描述性统计：

范围：最高值和最低值之间的差值

四分位范围：分布的中间一半的范围

标准偏差：平均距离的意思是

方差：距离均值的平方的平均值
集中倾向和变异性的区别是什么?: 而集中趋势告诉你大部分数据点在哪里，可变性总结你的观点彼此之间的差距。

数据集可以具有相同的集中趋势，但不同水平的可变性或反之亦然．它们一起为您提供了数据的完整图像。
描述统计和推论统计的区别是什么?: 描述性统计总结一个数据集的特征。推论统计允许你检验假设或者评估你的数据是否正确可概括的更广泛的人群。

引用这篇Scribbr文章

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班达里，P.(2022年11月11日)。计算范围，IQR，方差，标准偏差。Scribbr。检索于2022年12月14日，来自//www.dandarfirm.com/statistics/variability/

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Pritha班达里

普里塔拥有英语、心理学和认知神经科学方面的学术背景。作为一名跨学科研究人员，她喜欢为学生和学者撰写文章，解释棘手的研究概念。

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